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整数在内存中是如何存储的，为什么它堪称天才般的设计

加法和减法是计算机中最基本的运算，计算机时时刻刻都离不开它们，所以它们由硬件直接支持。为了提高加减法的运算效率，硬件电路要设计得尽量简单。

对于有符号数，内存要区分符号位和数值位，对于人脑来说，很容易辨别，但是对于计算机来说，就要设计专门的电路，这无疑增加了硬件的复杂性，增加了计算的时间。要是能把符号位和数值位等同起来，让它们一起参与运算，不再加以区分，这样硬件电路就变得简单了。

另外，加法和减法也可以合并为一种运算，就是加法运算，因为减去一个数相当于加上这个数的相反数，例如，5 - 3 等价于 5 + (-3)，10 - (-9) 等价于 10 + 9。

相反数是指数值相同，符号不同的两个数，例如，10 和 -10 就是一对相反数，-98 和 98 也是一对相反数。

如果能够实现上面的两个目标，那么只要设计一种简单的、不用区分符号位和数值位的加法电路，就能同时实现加法和减法运算，并且非常高效。实际上，这两个目标都已经实现了，真正的计算机硬件电路就是如此简单。

然而，简化硬件电路是有代价的，这个代价就是有符号数在存储和读取时都要进行转化。那么，这个转换过程究竟是怎样的呢？接下来我们就详细地讲解一下。

首先，请读者先记住下面的几个概念。

1) 原码

将一个整数转换成二进制形式，就是其原码。例如short a = 6;，a 的原码就是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此时 a 的原码就是1000 0000 0001 0010。

通俗的理解，原码就是一个整数本来的二进制形式。

2) 反码

谈到反码，正数和负数要区别对待，因为它们的反码不一样。

对于正数，它的反码就是其原码（原码和反码相同）；负数的反码是将原码中除符号位以外的所有位（数值位）取反，也就是 0 变成 1，1 变成 0。例如short a = 6;，a 的原码和反码都是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此时 a 的反码是1111 1111 1110 1101。

3) 补码

正数和负数的补码也不一样，也要区别对待。

对于正数，它的补码就是其原码（原码、反码、补码都相同）；负数的补码是其反码加 1。例如short a = 6;，a 的原码、反码、补码都是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此时 a 的补码是1111 1111 1110 1110。

可以认为，补码是在反码的基础上打了一个补丁，进行了一下修正，所以叫“补码”。

原码、反码、补码的概念只对负数有实际意义，对于正数，它们都一样。

最后我们总结一下 6 和 -18 从原码到补码的转换过程：

在计算机内存中，整数一律采用补码的形式来存储。这意味着，当读取整数时还要采用逆向的转换，也就是将补码转换为原码。正数的补码和原码相同，负数的补码转换为原码也很简单：先减去 1，再将数值位取反即可。

补码到底是如何简化硬件电路的

假设 6 和 18 都是 short 类型的，现在我们要计算 6 - 18 的结果，根据运算规则，它等价于 6 + (-18)。

如果采用原码计算，那么运算过程为：

6 - 18 = 6 + (-18)
	= [0000 0000 0000 0110]_原 + [1000 0000 0001 0010]_原
	= [1000 0000 0001 1000]_原
	= -24

直接用原码表示整数，让符号位也参与运算，对于类似上面的减法来说，结果显然是不正确的。

于是人们开始继续探索，不断试错，后来设计出了反码。下面就演示了反码运算的过程：

6 - 18 = 6 + (-18)
	= [0000 0000 0000 0110]_反 + [1111 1111 1110 1101]_反
	= [1111 1111 1111 0011]_反
	= [1000 0000 0000 1100]_原
	= -12

这样一来，计算结果就正确了。

然而，这样还不算万事大吉，我们不妨将减数和被减数交换一下位置，也就是计算 18 - 6 的结果：

18 - 6 = 18 + (-6)
	= [0000 0000 0001 0010]_反 + [1111 1111 1111 1001]_反
	= [1 0000 0000 0000 1011]_反
	= [0000 0000 0000 1011]_反
	= [0000 0000 0000 1011]_原
	= 11

按照反码计算的结果是 11，而真实的结果应该是 12 才对，它们相差了 1。

蓝色的 1 是加法运算过程中的进位，它溢出了，内存容纳不了了，所以直接截掉。

6 - 18 的结果正确，18 - 6 的结果就不正确，相差 1。按照反码来计算，是不是小数减去大数正确，大数减去小数就不对了，始终相差 1 呢？我们不妨再看两个例子，分别是 5 - 13 和 13 - 5。

5 - 13 的运算过程为：

5 - 13 = 5 + (-13)
	= [0000 0000 0000 0101]_原 + [1000 0000 0000 1101]_原
	=  [0000 0000 0000 0101]_反 + [1111 1111 1111 0010]_反
	= [1111 1111 1111 0111]_反
	= [1000 0000 0000 1000]_原
	= -8

13 - 5 的运算过程为：

13 - 5 = 13 + (-5)
	= [0000 0000 0000 1101]_原 + [1000 0000 0000 0101]_原
	= [0000 0000 0000 1101]_反 + [1111 1111 1111 1010]_反
	= [1 0000 0000 0000 0111]_反 
	= [0000 0000 0000 0111]_反
	= [0000 0000 0000 0111]_原
	= 7

这足以证明，刚才的猜想是正确的：小数减去大数不会有问题，而大数减去小数的就不对了，结果始终相差 1。

相差的这个 1 要进行纠正，但是又不能影响小数减去大数，怎么办呢？于是人们又绞尽脑汁设计出了补码，给反码打了一个“补丁”，终于把相差的 1 给纠正过来了。

下面演示了按照补码计算的过程：

6 - 18 = 6 + (-18)
	= [0000 0000 0000 0110]_补 + [1111 1111 1110 1110]_补
	= [1111 1111 1111 0100]_补
	=  [1111 1111 1111 0011]_反
	= [1000 0000 0000 1100]_原
	= -12
	
	18 - 6 = 18 + (-6)
	= [0000 0000 0001 0010]_补 + [1111 1111 1111 1010]_补
	= [1 0000 0000 0000 1100]_补
	= [0000 0000 0000 1100]_补
	= [0000 0000 0000 1100]_反
	= [0000 0000 0000 1100]_原
	= 12
	
	5 - 13 = 5 + (-13)
	=  [0000 0000 0000 0101]_补 + [1111 1111 1111 0011]_补
	= [1111 1111 1111 1000]_补
	= [1111 1111 1111 0111]_反
	= [1000 0000 0000 1000]_原
	= -8
	
	13 - 5 = 13 + (-5)
	= [0000 0000 0000 1101]_补 + [1111 1111 1111 1011]_补
	= [1 0000 0000 0000 1000]_补 
	= [0000 0000 0000 1000]_补
	= [0000 0000 0000 1000]_反
	= [0000 0000 0000 1000]_原
	= 8

你看，采用补码的形式正好把相差的 1 纠正过来，也没有影响到小数减去大数，这个“补丁”真是巧妙。

小数减去大数，结果为负数，之前（负数从反码转换为补码要加 1）加上的 1，后来（负数从补码转换为反码要减 1）还要减去，正好抵消掉，所以不会受影响。

而大数减去小数，结果为正数，之前（负数从反码转换为补码要加 1）加上的 1，后来（正数的补码和反码相同，从补码转换为反码不用减 1）就没有再减去，不能抵消掉，这就相当于给计算结果多加了一个 1。

补码这种天才般的设计，一举达成了本文开头提到的两个目标，简化了硬件电路。

除了整数的存储，小数的存储也非常巧妙，也堪称天才般的设计，它的设计者还因此获得了图灵奖（计算机界的诺贝尔奖），我们将在《小数在内存中是如何存储的，揭秘诺贝尔奖级别的设计（长篇神文）》一节中介绍。

实例分析

上一节我们还留下了一个谜团，就是有符号数以无符号的形式输出，或者无符号数以有符号的形式输出时，会得到一个奇怪的值，请看下面的代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
    short a = 0100;  //八进制
    int b = -0x1;  //十六进制
    long c = 720;  //十进制
  
    unsigned short m = 0xffff;  //十六进制
    unsigned int n = 0x80000000;  //十六进制
    unsigned long p = 100;  //十进制
  
    //以无符号的形式输出有符号数
    printf("a=%#ho, b=%#x, c=%lu\n", a, b, c);
    //以有符号数的形式输出无符号类型（只能以十进制形式输出）
    printf("m=%hd, n=%d, p=%ld\n", m, n, p);

    return 0;
}

运行结果：
a=0100, b=0xffffffff, c=720
m=-1, n=-2147483648, p=100

其中，b、m、n 的输出结果看起来非常奇怪。

b 是有符号数，它在内存中的存储形式（也就是补码）为：

b = -0x1
	= [1000 0000 …… 0000 0001]_原
	= [1111 1111 …… 1111 1110]_反
	= [1111 1111 …… 1111 1111]_补
	= [0xffffffff]补

%#x表示以无符号的形式输出，而无符号数的补码和原码相同，所以不用转换了，直接输出 0xffffffff 即可。

m 和 n 是无符号数，它们在内存中的存储形式为：

m = 0xffff
	= [1111 1111 1111 1111]_补
	
	n = 0x80000000
	= [1000 0000 …… 0000 0000]_补

%hd和%d表示以有符号的形式输出，所以还要经过一个逆向的转换过程：

[1111 1111 1111 1111]_补
	= [1111 1111 1111 1110]_反
	= [1000 0000 0000 0001]_原
	= -1
	
	[1000 0000 …… 0000 0000]_补
	= -2³¹
	= -2147483648

由此可见，-1 和 -2147483648 才是最终的输出值。

注意，[1000 0000 …… 0000 0000]补是一个特殊的补码，无法按照本节讲到的方法转换为原码，所以计算机直接规定这个补码对应的值就是 -2³¹，至于为什么，下节我们会详细分析。

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